Geometri Analitik: Lingkaran dan Garis

Halo semuanya! Hari ini kita akan membedah soal asli UTBK tentang Geometri Analitik. Mari kita lihat soalnya pada gambar berikut.

Topik utama kita adalah Geometri Analitik khusus untuk Lingkaran dan Garis. Kita akan membahas dua tipe soal penting: pertama, mencari titik potong lingkaran dan garis, dan kedua, menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Mari masuk ke soal satu tentang titik potong. Diketahui lingkaran L: x kuadrat tambah y kuadrat tambah 6x tambah 2y kurang 15 sama dengan 0 dan garis g: 3x tambah y sama dengan 5. Langkah pertamanya, kita ubah garis g menjadi y sama dengan 5 kurang 3x, lalu substitusikan y ini ke persamaan lingkaran.

Setelah substitusi, persamaannya menjadi x kuadrat tambah buka kurung 25 kurang 30x tambah 9x kuadrat tutup kurung tambah 6x tambah 10 kurang 6x kurang 15 sama dengan 0. Disederhanakan menjadi 10x kuadrat kurang 30x tambah 20 sama dengan 0, lalu bagi sepuluh menjadi x kuadrat kurang 3x tambah 2 sama dengan 0. Hasil faktornya adalah x kurang 1 kali x kurang 2 sama dengan 0, jadi x satu adalah 1 dan x dua adalah 2. Jika disubstitusi kembali ke y, kita dapatkan titik potong di 1 koma 2 dan 2 koma negatif 1.

Inilah visualisasi perpotongannya. Bisa kita lihat lingkaran dengan pusat P tersebut dipotong oleh garis tepat di koordinat 1 koma 2 dan 2 koma negatif 1.

Sekarang soal kedua tentang garis singgung. Lingkarannya adalah x kuadrat tambah y kuadrat kurang 2x tambah 4y kurang 4 sama dengan 0 dan harus sejajar garis 5x kurang 12y tambah 5 sama dengan 0. Pertama, kita cari pusat P di 1 koma negatif 2 dan jari-jari r adalah akar 9 yaitu 3. Kedua, kita cari gradien m dari garis sejajar, didapatkan m sama dengan 5 per 12.

Gunakan rumus garis singgung: y kurang b sama dengan m kali x kurang a plus minus r akar 1 tambah m kuadrat. Masukkan nilainya: y tambah 2 sama dengan 5 per 12 kali x kurang 1 plus minus 3 akar 1 tambah 5 per 12 kuadrat. Setelah disederhanakan, kita dapatkan persamaan 12y tambah 24 sama dengan 5x kurang 5 plus minus 39.

Jadi, dua persamaan garis singgungnya adalah 5x kurang 12y tambah 10 sama dengan 0 dan 5x kurang 12y kurang 68 sama dengan 0.

Berikut adalah visualisasi kedua garis singgung yang sejajar dengan gradien 5 per 12 pada lingkaran berjari-jari 3. Semoga bermanfaat!