Integral Substitusi Trigonometri: Latihan Soal Menengah

Halo semuanya! Kita akan bahas substitusi trigonometri. Gunakan substitusi jika ada bentuk: akar a kuadrat dikurang x kuadrat menjadi x sama dengan a sin teta. Akar a kuadrat ditambah x kuadrat menjadi x sama dengan a tan teta. Dan akar x kuadrat dikurang a kuadrat menjadi x sama dengan a sek teta.

Mari kita kerjakan contoh soal level menengah ini. Hitung hasil integral de x per x kuadrat plus empat pangkat tiga per dua. Karena ada bentuk x kuadrat ditambah dua kuadrat, kita pilih substitusi x sama dengan dua tan teta, sehingga de x sama dengan dua sek kuadrat teta de teta.

Langkah pertama, substitusi. Kita masukkan nilai x dan de x ke dalam integral. Persamaan menjadi integral dua sek kuadrat teta de teta dibagi kurung buka dua tan teta kuadrat ditambah empat kurung tutup pangkat tiga per dua. Lalu kita sederhanakan penyebutnya.

Langkah kedua, integrasi. Setelah disederhanakan, kita peroleh integral satu per empat cos teta de teta. Hasil integrasi dari cosinus adalah sinus, jadi kita dapatkan satu per empat sin teta ditambah konstanta C.

Langkah ketiga, kembali ke variabel x. Dari x sama dengan dua tan teta, maka tan teta adalah x per dua. Gunakan identitas segitiga dengan sisi depan x, samping dua, dan miring akar x kuadrat plus empat. Maka nilai sin teta adalah depan per miring, yaitu x per akar x kuadrat plus empat.

Hasil akhirnya adalah x per empat akar x kuadrat plus empat ditambah C. Terbukti bahwa substitusi yang tepat memudahkan integrasi!

Itulah pembahasan kita kali ini. Sampai jumpa di video matematika selanjutnya!