Laju Perubahan Sesaat dan Turunan

Pernahkah kamu melihat speedometer mobilmu menunjuk tepat angka 80 kilometer per jam di detik presisi saat melintasi jembatan? Angka ini adalah wujud nyata laju perubahan sesaat, bukan kecepatan rata-rata.

Menghitung rata-rata butuh dua titik waktu. Jika waktunya sama, muncul pembagian nol. Contohnya, substitusi langsung pada fungsi x kuadrat min sembilan per x min tiga saat x sama dengan tiga, menghasilkan nol per nol.

Kita bisa memfaktorkan pembilangnya menjadi x min tiga dikali x plus tiga. Kita coret x min tiga karena nilainya hanya mendekati tiga, menyisakan limit x plus tiga sama dengan enam.

Jebakan! Banyak mahasiswa menyerah dan menjawab tidak terdefinisi saat bertemu nol per nol. Padahal, nol per nol adalah sinyal bahwa fungsi masih bisa disederhanakan.

Pada fungsi x kuadrat, ambil jarak h sama dengan dua dari titik x sama dengan satu ke tiga, gradiennya empat. Jika h sama dengan satu, gradiennya tiga.

Saat jarak h makin menyusut mendekati nol, gradien garis secara visual terus turun mendekati angka dua.

Mari kita terjemahkan visualisasi tadi menjadi definisi matematis formal. Turunan f aksen x adalah limit h mendekati nol dari f x plus h dikurangi f x, dibagi h.

Substitusi fungsi x kuadrat. Jabarkan pembilang menjadi x kuadrat plus dua x h plus h kuadrat, dikurangi x kuadrat. Suku x kuadrat saling menghilangkan.

Faktorkan h di pembilang, lalu coret dengan penyebut. Substitusi h sama dengan nol menyisakan f aksen x sama dengan dua x.

Limit membantu kita menghindari pembagian nol untuk mengukur perubahan di satu momen presisi. Angka 80 kilometer per jam di speedometer awal tadi tak lain adalah hasil perhitungan langsung dari fungsi turunan ini!