Menyelesaikan Deret Teleskopik Akar

Halo semuanya! Hari ini kita akan membahas sebuah soal deret bilangan irasional yang cukup menarik. Kita diminta untuk menentukan nilai selisih antara x dan y dari hasil penjumlahan deret berikut ini.

Pertama, mari kita perhatikan pola suku ke-n pada deret tersebut. Suku pertama, satu per dua tambah akar dua, bisa kita tulis menjadi satu per dua akar satu tambah satu akar dua. Dari sini, kita bisa melihat bahwa bentuk umum suku ke-n atau u n adalah satu per, n tambah satu dikali akar n, ditambah n dikali akar n tambah satu.

Langkah selanjutnya adalah merasionalkan penyebutnya. Kita kalikan u n dengan bentuk sekawannya. Pembilangnya menjadi n tambah satu akar n dikurang n akar n tambah satu. Untuk penyebutnya, kita gunakan selisih dua kuadrat sehingga menjadi n dikali n tambah satu kuadrat, dikurang n kuadrat dikali n tambah satu.

Sekarang kita sederhanakan. Dengan memfaktorkan n dikali n tambah satu pada penyebut, kita peroleh hasil penyebutnya adalah n dikali n tambah satu dikali satu. Jika pembilangnya kita bagi dengan penyebut ini, didapatkan u n sama dengan akar n per n dikurang akar n tambah satu per n tambah satu. Sederhananya, u n sama dengan satu per akar n dikurang satu per akar n tambah satu.

Bentuk ini akan membentuk deret teleskopik. Suku pertama adalah satu per akar satu dikurang satu per akar dua, suku kedua satu per akar dua dikurang satu per akar tiga, dan seterusnya sampai suku ke-sembilan puluh sembilan. Jika semuanya dijumlahkan, suku-suku di tengah akan saling meniadakan, sehingga menyisakan satu per akar satu dikurang satu per akar seratus.

Hasil penjumlahan deretnya adalah satu dikurang satu per sepuluh, yaitu sembilan per sepuluh. Karena s sama dengan x per y, maka x sama dengan sembilan dan y sama dengan sepuluh. Dengan demikian, selisih antara x dan y adalah harga mutlak sembilan dikurang sepuluh, yang hasilnya adalah satu.

Itulah cara menyelesaikan soal ini dengan metode deret teleskopik. Semoga penjelasan ini bermanfaat dan sampai jumpa di pembahasan soal matematika lainnya!