Kecepatan Rata-rata vs Kecepatan Sesaat (Konsep Limit)

Pernah ditilang polisi karena ngebut, padahal kamu merasa kecepatan rata-ratamu dari rumah cuma empat puluh kilometer per jam? Kenapa bisa begitu?

Polisi tidak peduli rata-rata perjalananmu. Radar mereka mengukur kecepatan tepat di detik kamu tertangkap, alias kecepatan sesaat.

Coba perhatikan fungsi posisi partikel ini, s sama dengan tiga t kuadrat. Saat t sama dengan satu detik, posisinya tiga meter. Saat t dua, posisinya dua belas meter. Partikel makin cepat!

Sekarang kita bahas soal A, kecepatan rata-rata dari titik P ke Q. Di titik P, waktunya adalah a. Di titik Q, waktunya maju sedikit jadi a tambah h. Berarti, jeda waktunya atau delta t adalah h.

Lalu, di mana posisi partikel saat itu? Substitusi waktu ke fungsi posisi. Posisi di P adalah tiga a kuadrat. Posisi di Q adalah tiga dikali a tambah h dikuadratkan.

Mari kita hitung jarak tempuhnya, atau delta s. Kita jabarkan posisi Q, lalu kurangi dengan posisi P. Hasilnya, jarak tempuh adalah enam a h ditambah tiga h kuadrat.

Jadi untuk jawaban soal A, kecepatan rata-rata adalah delta s dibagi delta t. Bagikan hasil tadi dengan h, kita dapatkan kecepatan rata-ratanya: enam a ditambah tiga h.

Hati-hati jebakan! Jangan mengira enam a tambah tiga h ini adalah kecepatan di titik P. Salah! Selama masih ada nilai h, ini masih kecepatan rata-rata sebuah rentang waktu.

Sekarang soal B. Apa maksud h mendekati nol? Jika rentang waktu h makin kecil, mendekati nol, rentang itu menyusut jadi satu titik waktu persis di P.

Untuk menjawab B, kita masukkan limit h mendekati nol ke rumus kecepatan rata-rata. Nilai tiga h akan menghilang, jadi kecepatan sesaat di P adalah enam a.

Kesimpulannya, kecepatan rata-rata butuh dua titik waktu. Sedangkan kecepatan sesaat, limitkan selisih waktunya ke nol. Inilah cara radar polisi mengukur kecepatanmu, alias turunan pertama dari posisi!