Rumus Cosinus: Jumlah dan Selisih Sudut

Halo semuanya! Hari ini kita akan melakukan pembuktian rumus kosinus untuk selisih dan jumlah dua sudut. Kita akan membuktikan bahwa kosinus A kurang B sama dengan kos A kos B tambah sin A sin B, serta kosinus A tambah B sama dengan kos A kos B kurang sin A sin B.

Langkah pertama, kita siapkan setup lingkaran satuan. Perhatikan titik P dengan koordinat kos A koma sin A pada sudut A, dan titik Q dengan koordinat kos B koma sin B pada sudut B. Jarak antara titik P dan Q kita lambangkan dengan d.

Pertama, kita gunakan rumus jarak dua titik untuk mencari nilai d kuadrat. Rumusnya adalah x dua kurang x satu kuadrat tambah y dua kurang y satu kuadrat. Substitusikan koordinatnya menjadi d kuadrat sama dengan kos A kurang kos B kuadrat tambah sin A kurang sin B kuadrat.

Lalu kita ekspansi secara aljabar menjadi d kuadrat sama dengan kos kuadrat A kurang dua kos A kos B tambah kos kuadrat B tambah sin kuadrat A kurang dua sin A sin B tambah sin kuadrat B. Menggunakan identitas trigonometri, hasilnya adalah d kuadrat sama dengan dua kurang dua dikali dalam kurung kos A kos B tambah sin A sin B.

Langkah kedua, kita gunakan aturan kosinus pada segitiga P O Q. Karena jari-jari lingkaran satuan adalah satu, maka sisi O P dan O Q bernilai satu dengan sudut apit A kurang B. Rumusnya menjadi d kuadrat sama dengan satu kuadrat tambah satu kuadrat kurang dua kali satu kali satu kosinus A kurang B, atau d kuadrat sama dengan dua kurang dua kosinus A kurang B.

Sekarang, mari kita samakan kedua nilai d kuadrat tersebut. Dua kurang dua kosinus A kurang B sama dengan dua kurang dua dikali dalam kurung kos A kos B tambah sin A sin B. Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita peroleh rumus pertama yaitu kosinus A kurang B sama dengan kos A kos B tambah sin A sin B.

Untuk derivasi rumus penjumlahan, kita ganti saja B dengan minus B. Ingat sifat identitas di mana kosinus minus B sama dengan kos B dan sin minus B sama dengan minus sin B. Maka, kita dapatkan rumus kedua yaitu kosinus A tambah B sama dengan kos A kos B kurang sin A sin B.

Sebagai kesimpulan, inilah dua rumus kosinus untuk selisih dan jumlah dua sudut yang telah kita buktikan. Pelajari pola tandanya agar mudah diingat. Sampai jumpa di pembahasan materi matematika selanjutnya!