Proyeksi Vektor dan Geometri 3D

Pernah kepikiran gimana game tiga dimensi menghitung panjang bayangan karakter atau luas permukaan objek secara instan? Konsep rahasianya adalah proyeksi vektor!

Bayangkan sinar lampu menyorot sebuah tiang miring, lalu membentuk bayangan di tanah. Nah, bayangan di tanah inilah yang kita sebut proyeksi vektor. Kita akan hitung ini dengan angka dari Soal 2.

Langkah pertama, mari kita hitung vektor u dan v. Vektor u adalah dua kali vektor a dikurangi b. Kalikan komponen a dengan dua, lalu kurangkan b. Kita dapatkan empat, minus tujuh, dan delapan belas.

Sekarang vektor v. Vektor a ditambah tiga kali vektor b. Kalikan b dengan tiga, lalu jumlahkan. Hasilnya sembilan, nol, dan minus dua belas.

Untuk proyeksi skalar, kita butuh perkalian dot u dan v, dibagi panjang v. Mari kita hitung dot product-nya dulu, kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan. Hasilnya minus seratus delapan puluh.

Panjang v adalah akar dari jumlah kuadrat komponennya. Akar dari delapan puluh satu tambah seratus empat puluh empat adalah lima belas. Jadi, proyeksi skalarnya adalah minus seratus delapan puluh dibagi lima belas, yaitu minus dua belas.

Hati-hati jebakan! Jangan sampai terbalik membagi dengan panjang u. Ingat, proyeksi u pada v berarti v adalah lantainya, jadi pembaginya wajib panjang v si lantai.

Untuk proyeksi vektor, kalikan nilai skalar minus dua belas tadi dengan vektor satuan arah v. Kita dapatkan matriks vektor baru.

Lanjut ke Soal 3, kita pindah ke segitiga tiga dimensi. Kurangkan koordinat titik ujung dengan pangkal. Vektor AB adalah B kurang A, dan vektor AC adalah C kurang A.

Tinggi segitiga bisa dicari dari Pythagoras. Kita hitung dulu proyeksi vektor AB pada AC sebagai bayangannya. Lalu tinggi adalah akar selisih kuadrat panjang AB dan bayangannya.

Setelah dapat tinggi, luas segitiga tinggal setengah kali alas, yaitu panjang AC, dikali tinggi. Luas area segitiga berhasil ditemukan!

Terakhir, Soal 4 tentang pembuktian. Misalkan dua sisi jajargenjang adalah vektor x dan y. Diagonalnya adalah hasil penjumlahan x dan y.

Jika kita bagi dua vektor diagonal tersebut, kita bisa membuktikan bahwa keduanya berpotongan tepat di satu titik koordinat yang sama persis di tengah jajargenjang.

Jadi, dari sekadar operasi matriks angka, vektor membantu kita menghitung bayangan, mengukur luas objek tiga dimensi, hingga membuktikan sifat geometri!