Barisan dan Deret: Aritmetika vs Geometri

Pernah ditawari pilihan ini: mau digaji tetap satu juta setiap hari, atau digaji satu rupiah hari ini tapi jumlahnya berlipat ganda setiap hari selama sebulan? Mana yang bikin kamu lebih kaya?

Gaji tetap tadi adalah contoh barisan aritmetika. Misalnya uang saku kamu naik lima ribu tiap hari. Penambahan tetap ini disebut beda atau b. Rumus suku ke n-nya adalah a ditambah n min satu dikali b.

Kalau yang berlipat ganda itu geometri. Contohnya bakteri yang membelah dua tiap jam. Pengali tetap ini disebut rasio atau r. Rumusnya, a dikali r pangkat n min satu.

Hati-hati! Kenapa pengalinya n min satu, bukan n? Karena di hari pertama atau suku pertama, penambahan atau perkalian belum terjadi. Jangan sampai meleset satu suku ya!

Sekarang trik untuk geometri jika cuma diketahui dua suku. Jangan bingung, langsung bagi saja sukunya! U empat dibagi U dua sama dengan dua puluh empat per enam. r kuadrat sama dengan empat, jadi r sama dengan dua dan a sama dengan tiga.

Beda dengan geometri, untuk barisan aritmetika kita langsung kurangkan saja sukunya. U tujuh kurangi U tiga sama dengan dua puluh tujuh kurangi sebelas. Empat b sama dengan enam belas, ketemu deh b sama dengan empat dan a sama dengan tiga.

Untuk menghitung total jumlah sepuluh suku pertama, kita pakai rumus deret aritmetika S n. Tinggal masukkan nilai a dan b yang sudah kita cari tadi ke dalam rumus ini.

Bagaimana dengan deret tak hingga? Bayangkan pantulan bola tenis yang perlahan mengecil sampai berhenti. Kita bisa hitung total lintasannya dengan rumus S tak hingga sama dengan a dibagi satu min r.

Aplikasi langsung rumus ajaib tak hingga untuk suku pertama dua belas dan rasio sepertiga. Dua belas dibagi dua pertiga, hasilnya delapan belas!

Jadi ingat ya, aritmetika itu penjumlahan tetap, geometri perkalian tetap. Kembali ke pertanyaan awal: gaji satu rupiah yang berlipat geometri akan bikin kamu jadi miliarder di akhir bulan, jauh melampaui aritmetika!